对重力坝坝体和坝基的应力在不同荷载组合作用下的计算分析。应力分析的目的是为了判定坝和地基在运用期和施工期是否满足强度要求，同时也为坝体材料分区、坝内孔洞和管道布置以及在某些部位配置钢筋等提供依据。

重力坝应力分析方法，可分为理论计算和模型试验两类。理论计算方法主要有：①材料力学法，又称重力分析法，是广为应用的一种方法。②弹性理论数学解析法，只有少数边界条件简单的结构才有解答。③数值解法，包括有限差分法和有限元法等。结构模型试验方法主要有：①光测法，主要解决弹性应力问题。②脆性材料电测法，除能进行弹性应力分析外，还能进行破坏试验。由于模型试验费工费时，对于一般平面问题以及中、小型工程，可只进行理论计算；对于重要工程或地质条件复杂的工程，常用模型试验进行验证。

材料力学法

基本假定有：①坝体材料为均质和各向同性。②水平截面上垂直正应力呈线性分布。③坝体横缝不传力，视坝段为固结于地基的悬臂梁，不考虑坝基变形对坝体应力的影响。对于实体重力坝，通常沿坝轴线取单位宽度的坝体作为计算对象。作用在其上的荷载和应力以图1右上角箭头所示的方向为正。

图1 坝体荷载示意图

（1）水平截面上垂直正应力计算。截面上距形心O′为x′（x′以向上游为正）处的垂直正应力

式中，∑W（kN）、∑M（kN·m）分别为作用在计算截面（取单宽）上的全部荷载（考虑或不考虑扬压力）的垂直分量总和及对截面形心O′的力矩总和；F为计算截面积，m²；J为截面对形心轴的惯性矩，m⁴。

图2 坝体边缘应力计算简图

（2）边缘应力计算。重力坝坝体的最大和最小应力，一般均出现在坝面上，因此必须核算边缘应力。不考虑扬压力作用时，坝体水平截面上的边缘应力按如下方法推求（脚标u和d分别表示上游和下游边缘）：用式（1）计算上下游边缘铅直正应力σ_yu和σ_yd；在计算截面的上下游坝面取三角形微分体，见图2（a），按力的平衡条件可求得边缘剪应力τ_u、τ_d和水平正应力σ_xu和σ_xd；由图2（b）的微分体的力平衡条件可得边缘主应力σ_plu、σ_pld；显然，坝面上的压强（上、下游坝面分别为p和p′）也是主应力，即σ_p2u=p，σ_p2d=p′。

考虑扬压力时，先求出在扬压力和其他荷载共同作用下的边缘应力σ_y′u和σ_y′d，然后以此代替不考虑扬压力作用时的σ_yu和σ_yd，并以p-p_uu、p′-p_ud（p_uu和p_ud分别为计算截面上游和下游坝面的扬压力强度）代替以上计算中的p和p′，即可求得有扬压力情况下的边缘应力。

（3）坝内应力计算。在坝内取单位厚度的矩形微分体。不考虑扬压力作用时，微分体上的作用力系如图3所示。根据平衡条件∑x=0及∑y=0，可得力的平衡微分方程为

式中，γ_c为材料容重；λ为地震惯性力系数，随高度而变。

根据σ_y直线分布的假定，可得距下游坝面x处的

式（4）中，a和b可由偏心受压公式求得。联立求解式（2）、（3）、（4），可得

式中，a₁、b₁、…、d₂为系数，可由边界条件和平衡条件求得。从式（5）中可见，水平截面上的剪应力呈二次抛物线分布；水平正应力呈三次曲线分布，但很接近直线， 有时把它近似地取为线性分布，以简化计算。

图3 微分体力系

当有扬压力时，可先不计扬压力，算出坝内各点的应力分量，然后叠加扬压力产生的应力分量。折线分布的扬压力，可分解为沿全截面直线分布和局部三角形分布两部分（图4）。前者引起的坝内应力为

式中，p_ux为距下游坝面x处的扬压力强度。

图4 扬压力分解图

计算局部三角形分布扬压力所产生的坝内应力时，一般作如下的近似处理：先求出在局部扬压力作用下产生的坝体边缘应力和坝内应力，然后在其作用的局部截面上对τ、σ_x进行修正。将以上两部分扬压力所引起的坝内应力叠加，即可求得折线分布的扬压力所产生的坝内应力。

材料力学法不能考虑坝基变形的影响，因而在离坝底面1/4～1/3坝高的范围内，计算所得的坝体应力与实际情况有一定出入。但此法简便，又有长期的使用经验，是重力坝应力分析的基本方法，为各国规范所推荐。对于地质条件比较简单的中、低坝，可只按此法计算坝体应力，有时还可只计算坝的边缘应力。

弹性理论数学解析法

这是一种理论上严格的求解坝体应力的方法。但只有少数边界条件简单的典型结构才有解。此法在工程设计中很少采用。但可用此法计算典型结构的应力，以检验其他方法的精确性。

有限元法

可用以处理复杂的边界条件，考虑多种材料的不同特性，模拟复杂的地质条件，并可以计算弹性、弹塑性以及弹塑黏性问题。重力坝用有限元法计算应力时，一般可作平面问题处理。坝基的计算范围，一般可取为：地基深度和坝的上下游地基宽度各取2～5倍坝高，地基越软弱，地基弹模和坝体弹模相差越大，则采用较大的倍数，并根据具体情况选定边界的支承方式。计算方法和步骤参见有限元法。当坝基中存在断层、节理、层理、片理等结构面（又称构造面）时，一般采用特殊单元来离散，如夹层单元、节理单元等。也有的用普通单元来离散结构面。

坝基地质条件比较简单的中低坝，在一般情况下进行弹性分析已能满足工程设计要求。坝体混凝土和坝基岩体材料的应力应变关系实际上是非线性的，对于地质条件复杂的高坝，坝踵可能因拉应力集中而断裂，也可能沿软弱结构面产生滑移。因此。考虑材料性质的非线性，进行非线性分析，可以求得更符合实际的应力分布（参见岩体有限元分析）。

如何考虑库水对坝体和地基的作用，对计算结果有着重要影响。当坝体的渗透系数比地基小100倍以上时，一般可将坝体视作不透水体，渗流仅通过地基，库水以面力的方式作用在坝面和坝的底面，以体积力的方式作用在坝基。当坝体和坝基的透水性相差不多而比较透水时，可把两者均作为透水介质，库水以体积力的方式作用于坝体和坝基。当两者的透水性均很小时，在蓄水初期可把它们均视作不透水介质，这时库水及尾水将以面力的形式作用在上下游坝面和上下游地基表面上，这是一种不利的工作情况，坝踵附近将出现较大的拉应力。

中国DL 5108—1999《混凝土重力坝设计规范》规定，应核算作用效应基本组合和偶然组合情况下，坝趾抗压强度承载能力极限状态；应按作用的短期组合和长期组合核算坝踵正常使用极限状态；按作用的长期组合核算坝体上游面正常使用极限状态。

结构模型试验法

用于测试应力的结构模型试验方法主要有光测法和脆性材料电测法两类。光测法常用环氧树脂作为模型材料，利用偏光弹性仪观测模型受荷后所形成的等色线和等倾线，从而计算各点应力。此法主要解决弹性应力问题，也称光测弹性试验法，能较好地反映孔口及角缘的应力集中现象。另外，激光全息干涉和激光散斑干涉法在试验中逐步得到应用（参见光测法）。由于石膏、轻石浆混凝土等脆性材料与混凝土和岩石的性质相似，所以脆性材料结构模型试验电测法常用为研究坝体和坝基的应力状态，也有用作破坏试验的。激光散斑技术已开始应用于脆性材料模型试验的位移量测，它可同时获得位移的全场信息（参见水工结构模型试验量测技术）。

重力坝的应力控制标准

不同的应力分析方法有不同的控制标准。当用材料力学法计算坝体应力时，一般控制标准为：计入扬压力，坝体最大压应力小于材料的容许压应力；上游坝面不允许出现拉应力。坝基最大铅直正应力（σ_ymax）应小于坝基容许压应力，最小铅直正应力应大于零。地震情况和施工期的应力控制标准可适当降低。当用有限元法计算应力时，中国DL 5108—1999规定：计扬压力，坝基上游面拉应力区宽度宜小于坝底宽度的0.07倍（垂直拉应力分布宽度/坝底面宽度）或不达到帷幕中心线；坝体上游面拉应力区宽度宜小于计算截面宽度的0.07倍或不达到排水孔（管）中心线。

19世纪50～80年代，法国和英国开始用材料力学法分析重力坝应力。20世纪30年代，美国垦务局将此法进一步完善，并沿用至今。1898年，法国列维（Levy）用经典的弹性理论方法，得出了无限楔体在自重和一些面力作用下的应力解答。在这以后能解的范围不断扩大，但对边界条件复杂的实际问题，求解仍较困难，且计算工作量浩大。有限元法能考虑坝体和地基的相互作用，可得出比较接近实际的应力成果，但其设计准则尚需进一步探讨，材料的本构关系尚需完善。